有理数的加减混合运算（有理数）

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1、有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比，通常写作 a/b。

2、包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。

3、这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。

4、如3，-911，72727272……，7/22都是有理数。

5、有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0。

6、全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。

7、有理数集是实数集的子集。

8、相关的内容见数系的扩张。

9、有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律 a+b=b+a；②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使 0+a=a+0=a；④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交换律 ab=ba；⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。

10、此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。

11、有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。

12、由此不难推知，不存在最大的有理数。

13、值得一提的是有理数的名称。

14、“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。

15、事实上，这似乎是一个翻译上的失误。

16、有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。

17、中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。

18、但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。

19、所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。

20、与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

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