【行列式的几个重要公式】行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵理论、解方程组、几何变换等领域。掌握行列式的几个重要公式，有助于更好地理解和应用这一数学工具。以下是对行列式相关公式的总结，结合文字说明与表格形式进行展示。
一、行列式的定义
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A = (a_{ij}) $，其行列式记作 $
$$
\det(A) = \sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}
$$
其中 $ \sigma $ 是 $ 1, 2, ..., n $ 的所有排列，$ \text{sgn}(\sigma) $ 表示排列的奇偶性（若为偶排列，则符号为正；奇排列则为负）。
二、行列式的性质
1. 行列式与转置
行列式等于其转置矩阵的行列式，即：
$$
\det(A^T) = \det(A)
$$
2. 交换两行或两列
行列式变号，即：
$$
\det(A') = -\det(A)
$$
3. 某一行（列）乘以常数
若将某一行（列）乘以常数 $ k $，则行列式也乘以 $ k $，即：
$$
\det(kA_i) = k \cdot \det(A)
$$
4. 某一行（列）为零
若某一行（列）全为零，则行列式为零。
5. 行列式可加性
若某一行（列）是两个向量之和，则行列式可拆分为两个行列式的和。
6. 行列式与逆矩阵
若 $ A $ 可逆，则：
$$
\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}
$$
三、行列式的计算公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用范围 |
| 二阶行列式 | $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $ | 2×2 矩阵 |
| 三阶行列式 | $ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $ | 3×3 矩阵 |
| 拉普拉斯展开 | $ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} $ | 任意 n×n 矩阵 |
| 三角形矩阵行列式 | 若 $ A $ 是上三角或下三角矩阵，则 $ \det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} $ | 上三角或下三角矩阵 |
| 范德蒙行列式 | $ \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) $ | 范德蒙矩阵 |
四、行列式的应用
1. 判断矩阵是否可逆：当且仅当 $ \det(A) \neq 0 $ 时，矩阵 $ A $ 可逆。
2. 求解线性方程组：克莱姆法则利用行列式求解线性方程组的解。
3. 计算面积与体积：在几何中，行列式可用于计算平行四边形、平行六面体的面积与体积。
4. 特征值与特征向量：行列式用于求解矩阵的特征多项式。
五、总结
行列式是一个强大的数学工具，不仅在理论研究中有广泛应用，在工程、物理、计算机科学等实际问题中也有重要价值。掌握其基本性质和计算方法，是学习线性代数的重要基础。
表格总结：行列式的几个重要公式
| 类别 | 公式内容 |
| 定义 | $ \det(A) = \sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)} $ |
| 性质 | $ \det(A^T) = \det(A) $, $ \det(kA_i) = k \cdot \det(A) $, etc. |
| 二阶行列式 | $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $ |
| 三阶行列式 | $ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $ |
| 拉普拉斯展开 | $ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} $ |
| 三角形行列式 | $ \det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} $ |
| 范德蒙行列式 | $ \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) $ |
通过以上内容，可以系统地了解行列式的各种重要公式及其应用场景，为进一步学习线性代数打下坚实基础。
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