【已知三点A（(3,0)B及(0,1)C及(0,0)求重心内心外心垂心）】在平面几何中，三角形的四个重要点——重心、内心、外心和垂心——是研究三角形性质的重要工具。本文将以坐标点 A(3,0)、B(0,1)、C(0,0) 构成的三角形为对象，分别计算其重心、内心、外心和垂心，并以加表格的形式呈现结果。

一、基本概念简述

- 重心：三角形三条中线的交点，也是三边中点连线的交点。

- 内心：三角形内切圆的圆心，是三个角平分线的交点。

- 外心：三角形外接圆的圆心，是三条垂直平分线的交点。

- 垂心：三角形三条高的交点。

二、具体计算过程

1. 重心（Centroid）

设三角形顶点为 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)，则重心 G 的坐标为：

$$

G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)

$$

代入数据：

$$

G = \left( \frac{3 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 1 + 0}{3} \right) = \left( 1, \frac{1}{3} \right)

$$

2. 内心（Incenter）

内心 I 的坐标可以通过公式：

$$

I = \left( \frac{a x_1 + b x_2 + c x_3}{a + b + c}, \frac{a y_1 + b y_2 + c y_3}{a + b + c} \right)

$$

其中 a、b、c 分别为 BC、AC、AB 的长度。

先计算各边长：

- AB = √[(3-0)² + (0-1)²] = √(9 + 1) = √10

- BC = √[(0-0)² + (1-0)²] = √1 = 1

- AC = √[(3-0)² + (0-0)²] = √9 = 3

代入公式：

$$

I = \left( \frac{1 \cdot 3 + 3 \cdot 0 + \sqrt{10} \cdot 0}{1 + 3 + \sqrt{10}}, \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + \sqrt{10} \cdot 0}{1 + 3 + \sqrt{10}} \right)

= \left( \frac{3}{4 + \sqrt{10}}, \frac{3}{4 + \sqrt{10}} \right)

$$

3. 外心（Circumcenter）

外心是三条边的垂直平分线的交点。由于 C 和 B 在 y 轴上，且 A 在 x 轴上，可以简化计算。

设外心为 O(x, y)，满足到三个顶点的距离相等：

- OA² = OB² = OC²

通过解方程组可得：

$$

O = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)

$$

4. 垂心（Orthocenter）

垂心是三条高的交点。由于该三角形为直角三角形（∠C = 90°），因此垂心即为直角顶点 C(0,0)。

三、结果汇总表

四、结论

通过对三角形 A(3,0)、B(0,1)、C(0,0) 的分析，我们得到了其重心、内心、外心和垂心的坐标。这些点在几何学中具有重要意义，能够帮助我们更深入地理解三角形的结构与性质。