在数学领域中，研究一元二次方程的根是非常重要的基础工作。对于给定的一元二次方程 \( x^2 - (2m-1)x - 3m^2 + m = 0 \)，我们需要探讨在何种条件下该方程始终存在实数解。

首先回顾一下一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的判别式公式：\( \Delta = b^2 - 4ac \)。当且仅当判别式 \( \Delta \geq 0 \) 时，该方程具有实数根。

对于本题中的方程：

- \( a = 1 \)

- \( b = -(2m-1) \)

- \( c = -3m^2 + m \)

计算判别式 \( \Delta \):

\[

\Delta = [-(2m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3m^2 + m)

\]

\[

\Delta = (2m-1)^2 + 4(3m^2 - m)

\]

\[

\Delta = 4m^2 - 4m + 1 + 12m^2 - 4m

\]

\[

\Delta = 16m^2 - 8m + 1

\]

接下来分析 \( \Delta \geq 0 \) 是否恒成立。观察表达式 \( 16m^2 - 8m + 1 \)，这是一个关于 \( m \) 的二次函数。其开口向上（因为二次项系数为正），并且可以通过配方或求顶点来判断其最小值是否非负。

将 \( 16m^2 - 8m + 1 \) 完全平方化：

\[

16m^2 - 8m + 1 = (4m - 1)^2

\]

显然，无论 \( m \) 取何值，\( (4m - 1)^2 \geq 0 \) 恒成立。因此，判别式 \( \Delta \geq 0 \) 对所有实数 \( m \) 都成立。

结论：对于任意实数 \( m \)，方程 \( x^2 - (2m-1)x - 3m^2 + m = 0 \) 总有实数根。