【行列式展开公式】行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组以及计算几何体积等。在实际应用中，行列式的计算通常需要通过展开公式来实现。本文将对行列式展开公式进行简要总结，并以表格形式展示其核心内容。

一、行列式展开的基本概念

行列式是一个与方阵相关的标量值，记作 $ A $ 或 $ \det(A) $。对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A = (a_{ij}) $，其行列式可以通过按行或按列展开的方式计算。

行列式展开的核心思想是将高阶行列式转化为低阶行列式的计算，从而简化运算过程。

二、行列式展开公式

行列式展开分为两种方式：按行展开 和 按列展开，它们的数学表达式如下：

1. 按第 $ i $ 行展开：

$$

\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}

$$

其中，$ C_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式，定义为：

$$

C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}

$$

- $ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 子矩阵的行列式；

- $ (-1)^{i+j} $ 是符号因子，决定余子式的正负。

2. 按第 $ j $ 列展开：

$$

\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}

$$

同样地，$ C_{ij} $ 为对应的代数余子式。

三、行列式展开公式的应用

行列式展开公式广泛应用于以下场景：

- 计算高阶行列式（如 3×3、4×4 等）；

- 在求解线性方程组时使用克莱姆法则；

- 在特征值与特征向量的计算中；

- 在几何中计算平行六面体的体积。

四、行列式展开公式总结表

五、注意事项

- 展开时选择零较多的行或列可以减少计算量；

- 高阶行列式展开可能会导致计算复杂度迅速上升；

- 实际计算中，也可以结合行列式的性质（如行列式相加、交换、倍乘等）简化计算。

六、结语

行列式展开公式是计算行列式的重要工具，尤其在处理高阶矩阵时具有重要意义。掌握其基本原理和应用方法，有助于更高效地解决线性代数中的各种问题。通过合理选择展开行或列，可以有效降低计算难度，提高运算效率。