【行列式计算】行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组以及计算向量的体积等。本文将对行列式的定义、计算方法及常见类型进行简要总结，并通过表格形式展示不同阶数矩阵的行列式计算方式。
一、行列式的定义
行列式是一个与方阵（即行数和列数相等的矩阵）相关联的标量值，记作
$$
\text{det}(A) = \sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}
$$
其中 σ 是 1 到 n 的排列，sgn(σ) 是排列的奇偶性（奇排列为 -1，偶排列为 +1）。
二、行列式的计算方法
1. 二阶行列式：
对于 2×2 矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
$$
其行列式为：
$$
\text{det}(A) = ad - bc
$$
2. 三阶行列式：
可使用“对角线法”或“展开法”。例如：
$$
A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
$$
行列式为：
$$
\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
$$
3. 高阶行列式：
通常采用余子式展开法（按行或按列展开），或者通过行变换将其化为上三角矩阵，再将主对角线元素相乘。
三、行列式的基本性质
| 性质 | 内容 |
| 1 | 行列式与其转置矩阵的行列式相等 |
| 2 | 若交换两行（列），行列式变号 |
| 3 | 若某一行（列）全为零，行列式为零 |
| 4 | 若某一行（列）乘以常数 k，则行列式也乘以 k |
| 5 | 若两行（列）相同或成比例，行列式为零 |
| 6 | 行列式具有线性性，即某一行（列）的线性组合可拆分为多个行列式的和 |
四、常见行列式计算示例
| 矩阵 | 行列式 |
| $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ | $1×4 - 2×3 = -2$ |
| $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ | $2(3×6 - 2×5) - 0 + 1(1×5 - 3×4) = 2(18-10) + 1(5-12) = 16 -7 = 9$ |
| $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{bmatrix}$ | $1(2×6 - 3×3) - 1(1×6 - 3×1) + 1(1×3 - 2×1) = 1(12-9) -1(6-3) +1(3-2) = 3 -3 +1 = 1$ |
五、总结
行列式的计算是线性代数中的一项基础技能，掌握其定义、性质和计算方法有助于更深入地理解矩阵运算及其应用。在实际操作中，应根据矩阵的大小选择合适的计算方式，如低阶矩阵可直接计算，高阶矩阵则建议使用展开法或行变换简化过程。合理利用行列式的性质，可以有效提高计算效率并减少错误率。
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