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等比数列的公式

2025-09-22 23:30:33

问题描述:

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2025-09-22 23:30:33

等比数列的公式】在数学中,等比数列是一种重要的数列形式,其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比。掌握等比数列的相关公式,有助于快速求解数列中的各项、求和以及分析数列的变化规律。

以下是对等比数列主要公式的总结:

一、基本定义

设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $,若满足:

$$

\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = r \quad (n \geq 2)

$$

其中 $ r $ 是一个常数($ r \neq 0 $),则称该数列为等比数列,$ r $ 称为公比。

二、等比数列的通项公式

第 $ n $ 项的表达式为:

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

$$

其中:

- $ a_1 $:首项

- $ r $:公比

- $ n $:项数

三、等比数列的求和公式

1. 前 $ n $ 项和公式(当 $ r \neq 1 $)

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

$$

2. 当 $ r < 1 $ 时,无穷等比数列的和为:

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

四、等比数列的性质

性质 描述
1 若 $ a, b, c $ 成等比数列,则 $ b^2 = ac $
2 等比数列中,任意两项之比等于它们的项数差的幂次方
3 若 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 是等比数列,且 $ m + n = p + q $,则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $

五、常见应用示例

情况 公式 示例
求第5项 $ a_5 = a_1 \cdot r^4 $ 若 $ a_1 = 2, r = 3 $,则 $ a_5 = 2 \cdot 3^4 = 162 $
求前4项和 $ S_4 = a_1 \cdot \frac{1 - r^4}{1 - r} $ 若 $ a_1 = 1, r = 2 $,则 $ S_4 = 1 \cdot \frac{1 - 16}{1 - 2} = 15 $
无穷级数和 $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ 若 $ a_1 = 1, r = \frac{1}{2} $,则 $ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 $

六、总结

等比数列的公式是解决数列问题的基础工具。理解并熟练运用这些公式,不仅有助于提高计算效率,还能帮助我们在实际问题中更好地建模和分析数据。通过表格形式对公式进行归纳整理,可以更清晰地掌握其结构和应用场景。

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