【等比数列的公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比。掌握等比数列的相关公式，有助于快速求解数列中的各项、求和以及分析数列的变化规律。
以下是对等比数列主要公式的总结：
一、基本定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = r \quad (n \geq 2)
$$
其中 $ r $ 是一个常数（$ r \neq 0 $），则称该数列为等比数列，$ r $ 称为公比。
二、等比数列的通项公式
第 $ n $ 项的表达式为：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中：
- $ a_1 $：首项
- $ r $：公比
- $ n $：项数
三、等比数列的求和公式
1. 前 $ n $ 项和公式（当 $ r \neq 1 $）
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
2. 当 $
$$
S = \frac{a_1}{1 - r}
$$
四、等比数列的性质
| 性质 | 描述 |
| 1 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $ |
| 2 | 等比数列中，任意两项之比等于它们的项数差的幂次方 |
| 3 | 若 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 是等比数列，且 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $ |
五、常见应用示例
| 情况 | 公式 | 示例 |
| 求第5项 | $ a_5 = a_1 \cdot r^4 $ | 若 $ a_1 = 2, r = 3 $，则 $ a_5 = 2 \cdot 3^4 = 162 $ |
| 求前4项和 | $ S_4 = a_1 \cdot \frac{1 - r^4}{1 - r} $ | 若 $ a_1 = 1, r = 2 $，则 $ S_4 = 1 \cdot \frac{1 - 16}{1 - 2} = 15 $ |
| 无穷级数和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 若 $ a_1 = 1, r = \frac{1}{2} $，则 $ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 $ |
六、总结
等比数列的公式是解决数列问题的基础工具。理解并熟练运用这些公式，不仅有助于提高计算效率，还能帮助我们在实际问题中更好地建模和分析数据。通过表格形式对公式进行归纳整理，可以更清晰地掌握其结构和应用场景。
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