【伴随矩阵怎么算】在矩阵运算中，伴随矩阵是一个非常重要的概念，尤其在求逆矩阵时有着广泛的应用。本文将详细讲解伴随矩阵的定义、计算方法，并通过表格形式进行总结，帮助读者快速掌握相关内容。
一、什么是伴随矩阵？
伴随矩阵（Adjugate Matrix）是指一个方阵的每个元素的代数余子式所组成的矩阵的转置。对于一个n×n的矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，用于计算A的逆矩阵（当A可逆时）。
二、伴随矩阵的计算步骤
1. 计算每个元素的代数余子式
对于矩阵A中的每个元素a_ij，计算其对应的代数余子式C_ij，即：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中M_ij是去掉第i行和第j列后得到的(n-1)×(n-1)矩阵的行列式。
2. 构造代数余子式矩阵
将所有代数余子式C_ij按原位置排列，形成一个矩阵，称为代数余子式矩阵。
3. 转置代数余子式矩阵
将上述代数余子式矩阵进行转置，得到最终的伴随矩阵adj(A)。
三、伴随矩阵的性质
| 性质 | 说明 | ||||
| 1 | A × adj(A) = adj(A) × A = | A | × I_n | ||
| 2 | 若A可逆，则A⁻¹ = (1/ | A | ) × adj(A) | ||
| 3 | adj(A^T) = (adj(A))^T | ||||
| 4 | adj(kA) = k^{n-1} × adj(A)，其中k为常数 | ||||
| 5 | adj(A) | = | A | ^{n-1} |
四、示例：3×3矩阵的伴随矩阵计算
设矩阵A为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 6 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
1. 计算各元素的代数余子式
- C₁₁ = +det[[1,4],[6,0]] = (1×0 - 4×6) = -24
- C₁₂ = -det[[0,4],[5,0]] = -(0×0 - 4×5) = 20
- C₁₃ = +det[[0,1],[5,6]] = (0×6 - 1×5) = -5
- C₂₁ = -det[[2,3],[6,0]] = -(2×0 - 3×6) = 18
- C₂₂ = +det[[1,3],[5,0]] = (1×0 - 3×5) = -15
- C₂₃ = -det[[1,2],[5,6]] = -(1×6 - 2×5) = 4
- C₃₁ = +det[[2,3],[1,4]] = (2×4 - 3×1) = 5
- C₃₂ = -det[[1,3],[0,4]] = -(1×4 - 3×0) = -4
- C₃₃ = +det[[1,2],[0,1]] = (1×1 - 2×0) = 1
2. 构造代数余子式矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
-24 & 20 & -5 \\
18 & -15 & 4 \\
5 & -4 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
3. 转置得到伴随矩阵：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
-24 & 18 & 5 \\
20 & -15 & -4 \\
-5 & 4 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
五、总结表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 计算每个元素的代数余子式 |
| 2 | 构造代数余子式矩阵 |
| 3 | 转置该矩阵，得到伴随矩阵 |
| 4 | 可用于求逆矩阵（当行列式不为零时） |
| 5 | 伴随矩阵与原矩阵相乘等于行列式乘以单位矩阵 |
通过以上步骤和示例，我们可以清晰地理解如何计算伴随矩阵。它是矩阵理论中不可或缺的一部分，尤其在求解线性方程组、矩阵逆等问题中具有重要作用。
