【常用等价无穷小替换公式】在高等数学中，尤其是在求极限的过程中，等价无穷小替换是一个非常重要的工具。它可以帮助我们简化复杂的表达式，使计算更加高效和直观。以下是一些常见的等价无穷小替换公式，适用于当 $ x \to 0 $ 时的情况。
一、常见等价无穷小替换公式总结
| 当 $ x \to 0 $ 时的函数 | 等价无穷小表达式 |
| $ \sin x $ | $ x $ |
| $ \tan x $ | $ x $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ |
| $ \arctan x $ | $ x $ |
| $ \ln(1 + x) $ | $ x $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ |
| $ a^x - 1 $（$ a > 0 $） | $ x \ln a $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{1}{2}x^2 $ |
| $ \sqrt{1 + x} - 1 $ | $ \frac{1}{2}x $ |
| $ (1 + x)^k - 1 $ | $ kx $（$ k $为常数） |
| $ \log_a(1 + x) $ | $ \frac{x}{\ln a} $ |
二、使用说明与注意事项
1. 适用范围：以上等价关系仅在 $ x \to 0 $ 时成立，若 $ x \to \infty $ 或其他情况，需重新分析。
2. 替换原则：在极限运算中，若某部分是无穷小量，可以将其替换为对应的等价无穷小，以简化运算。
3. 避免误用：注意不要将等价无穷小用于加减法中的中间项，除非能保证替换后的结果仍保持同阶或低阶无穷小关系。
4. 高阶无穷小处理：若题目涉及高阶无穷小（如 $ o(x) $），应保留更高阶项以确保精度。
三、应用示例
例如，求极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}
$$
利用等价无穷小：
- $ \sin x \sim x $
- $ \tan x \sim x $
代入后得：
$$
\frac{x - x}{x^3} = 0
$$
但实际更精确地展开：
- $ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) $
- $ \tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) $
则：
$$
\frac{(x - \frac{x^3}{6}) - (x + \frac{x^3}{3})}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{2}}{x^3} = -\frac{1}{2}
$$
因此，正确极限为 $ -\frac{1}{2} $。
四、结语
掌握常用的等价无穷小替换公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对极限本质的理解。在实际应用中，结合泰勒展开或洛必达法则，可以更全面地解决复杂问题。建议在学习过程中多做练习，灵活运用这些公式。
