在高中数学的学习中，几何部分常常会涉及到一些重要的公式推导，其中两平行线间的距离公式就是一个典型例子。这一公式不仅在理论上有重要意义，在实际应用中也十分广泛。那么，这个公式的具体推导过程是怎样的呢？接下来，我们就通过逻辑清晰且易于理解的方式为大家详细讲解。
一、公式的背景与意义
假设我们有两条平行直线 \( L_1 \) 和 \( L_2 \)，它们的方程分别为：
\[
L_1: Ax + By + C_1 = 0
\]
\[
L_2: Ax + By + C_2 = 0
\]
这里，\( A \) 和 \( B \) 是相同的，表明这两条直线平行（因为它们的斜率相等）。而 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 的不同则说明它们的位置不同，因此存在一定的垂直距离。
我们需要找到一个通用的方法来计算这两条平行线之间的垂直距离。这个距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的最短距离，它必须与两条直线的方向保持垂直。
二、推导过程
1. 确定任意一点
为了方便推导，我们先在 \( L_1 \) 上选取一个点 \( P(x_1, y_1) \)。根据 \( L_1 \) 的方程 \( Ax + By + C_1 = 0 \)，可以得到：
\[
Ax_1 + By_1 + C_1 = 0
\]
这表示点 \( P(x_1, y_1) \) 满足 \( L_1 \) 的方程。
2. 垂线方向向量
由于两条直线平行，它们的法向量相同，即为 \( \vec{n} = (A, B) \)。这意味着从 \( L_1 \) 到 \( L_2 \) 的垂直距离就是沿着这个法向量方向的投影长度。
3. 计算距离
从点 \( P(x_1, y_1) \) 向 \( L_2 \) 作垂线，设垂足为 \( Q(x_2, y_2) \)。根据点到直线的距离公式，点 \( P(x_1, y_1) \) 到直线 \( L_2: Ax + By + C_2 = 0 \) 的距离为：
\[
d = \frac{|A x_1 + B y_1 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
由于 \( P(x_1, y_1) \) 在 \( L_1 \) 上，满足 \( Ax_1 + By_1 + C_1 = 0 \)，因此代入后可得：
\[
d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
三、公式的总结
最终，我们得到了两平行线间的距离公式：
\[
d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
这个公式的意义在于，它只依赖于两条直线的系数 \( A \)、\( B \) 和常数项 \( C_1 \)、\( C_2 \)，而不需要具体的点坐标。这种简洁的形式使得它在解决几何问题时非常实用。
四、实际应用举例
例如，已知两条平行线的方程分别为：
\[
L_1: 2x + 3y + 5 = 0
\]
\[
L_2: 2x + 3y + 10 = 0
\]
我们可以直接套用公式计算它们之间的距离：
\[
d = \frac{|10 - 5|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{5}{\sqrt{13}}
\]
因此，这两条平行线之间的垂直距离为 \( \frac{5}{\sqrt{13}} \)。
通过以上推导和分析，我们可以清楚地看到，两平行线间的距离公式是如何从几何原理出发一步步推导出来的。掌握这一公式不仅能帮助我们更好地理解平面几何的基本概念，还能为后续更复杂的数学问题打下坚实的基础。
