在数学分析中，傅里叶级数是一种将周期函数分解为简单正弦和余弦函数的方法。这种方法由法国数学家约瑟夫·傅里叶提出，广泛应用于工程学、物理学等领域。那么，傅里叶级数展开公式是如何推导出来的呢？

首先，我们需要明确一个周期函数的概念。假设有一个周期为T的函数f(t)，它满足f(t+T)=f(t)。我们的目标是找到一组系数a_n和b_n，使得该函数可以表示为无穷级数的形式：

f(t) = a_0 + Σ[a_ncos(2πnt/T) + b_nsin(2πnt/T)]

这里的Σ表示对n从1到无穷求和。

为了得到这些系数的具体表达式，我们利用了正交性原理。所谓正交性，是指两个函数乘积在给定区间上的积分等于零的情况。对于三角函数系{1, cos(2πt/T), sin(2πt/T), cos(4πt/T), sin(4πt/T), ...}，它们在这个区间内是两两正交的。

具体来说，当m≠n时，

∫[cos(2πmt/T)cos(2πnt/T)]dt = 0

∫[sin(2πmt/T)sin(2πnt/T)]dt = 0

∫[cos(2πmt/T)sin(2πnt/T)]dt = 0

而当m=n=0时，

∫[1]dt = T

基于上述性质，我们可以分别计算出a_0, a_n, b_n的值。通过将f(t)与基函数相乘后在整个周期上积分，并结合正交性的结果，最终得到了以下公式：

a_0 = (1/T) ∫[f(t)]dt (积分区间为[-T/2,T/2])

a_n = (2/T) ∫[f(t)cos(2πnt/T)]dt

b_n = (2/T) ∫[f(t)sin(2πnt/T)]dt

这样我们就完成了傅里叶级数展开公式的推导过程。这个公式的意义在于它提供了一种通用的方法来表示任意周期函数，无论它是连续还是离散的，都可以通过这种方式进行分解。此外，在实际应用中，由于无穷级数难以精确计算，通常会取有限项来进行近似表示。