在概率论与数理统计中，均匀分布是一种非常基础且重要的连续型随机变量的概率分布形式。它描述了在一个区间内，所有点出现的可能性是相等的情况。例如，在一个闭区间[a, b]上，均匀分布意味着在这个区间内的任何一点x都有相同的概率密度。

对于定义在区间[a, b]上的均匀分布，其概率密度函数（PDF）为：

f(x) = 1 / (b - a), 当a ≤ x ≤ b

f(x) = 0, 其他情况

基于此概率密度函数，我们可以计算均匀分布的两个重要参数——期望值（均值）和方差。

首先来看均匀分布的期望值E(X)，即随机变量X的平均值。根据数学期望的定义，我们有：

E(X) = ∫(从a到b)x f(x) dx

代入f(x) = 1/(b-a)，得到：

E(X) = ∫(从a到b)x (1/(b-a)) dx

通过积分运算可得：

E(X) = [x^2 / 2(b-a)] |(从a到b)

进一步简化后：

E(X) = (a + b) / 2

接下来考虑方差Var(X)，它是衡量随机变量X取值偏离其期望值的程度的一个指标。方差公式为：

Var(X) = E[(X-E(X))^2]

利用性质Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，先求E(X^2)：

E(X^2) = ∫(从a到b)x^2 f(x) dx

同样代入f(x) = 1/(b-a)，得到：

E(X^2) = ∫(从a到b)x^2 (1/(b-a)) dx

经过积分处理后：

E(X^2) = [x^3 / 3(b-a)] |(从a到b)

简化为：

E(X^2) = (b^3 - a^3) / [3(b-a)]

因此，方差Var(X)为：

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

将上述结果代入并化简后可得：

Var(X) = [(b-a)^2] / 12

综上所述，在区间[a, b]上均匀分布的期望值为(a+b)/2，而方差则为(b-a)^2/12。这两个公式不仅适用于理论研究，在实际应用中也具有重要意义，如用于模拟实验设计、质量控制等领域。